La percepción de la Probabilidad

( o “Por qué llevo jugando mal a ‘El Símbolo Arcano’ desde hace años”)

TL;DR:

A veces la percepción de la probabilidad es engañosa y, normalmente, las mecánicas de un juego están ahí para facilitarte la vida. Úsalas, aprovéchate de ellas o investiga antes de afirmar, como hacía yo a cualquiera que quisiera escucharme, que el sistema está roto (y te afanes en buscar reglas caseras para arreglarlo).

Empecé en ésto de los juegos de mesa, como tantos otros, con el Monopoly (hubo otros, por supuesto, pero el exponente de un juego de mesa era, para mí, el Monopoly). También hubo Magic y Warhammer, incluso algo de rol. Pero los juegos de mesa se reducían al Monopoly y sus “amigos”: Risk, Trivial, incluso una vez creo que jugué a “La herencia de tía Ágata”.

Y entonces probé el Arkham Horror. Y me enamoré, ¿cómo no hacerlo? un juego colaborativo, igual de largo que el Monopoly pero sin ir perdiendo amistades por el camino, un todos contra el juego, siendo el juego un maldito bastardo en forma de entidad primigenia salida de vete tu a saber qué plano de existencia y coronado con una puesta en mesa espectacular. Fue amor a primera vista. Sin embargo, la copia era de un amigo, así que opté por un juego similar, pero con un sabor distinto, y terminó llegando a mis manos “El Símbolo Arcano”, la versión ‘tira-dados’ del Arkham Horror (salvando las distancias). Y aquí empezaron mis problemas con la dichosa probabilidad.

Imagen extraida de http://estanteriadejuegos.blogspot.com.es/2014/02/resena-el-simbolo-arcano.html

Veréis, para contextualizar un poco, el sistema de “El Símbolo Arcano” se basa en lanzar 6 dados de 6 caras serigrafiados con símbolos para completar las tareas de las cartas que componen el juego, presentándose dichas tareas como líneas con uno o más símbolos. Si un dado muestra un símbolo que aparezca en una de las tareas de la carta, puedes ponerlo para completar esa tarea. A veces, las cartas imponen que se coloquen varias caras concretas en la misma tarea, y esas caras deben obtenerse tirando los dados. Además, cuando en una tirada no has obtenido los suficientes símbolos para completar ninguna de las tareas que aparecen en la carta, puedes volver a tirar… siempre que te quites un dado de tu montón. Cada tirada fallida hace que sea más complicado superar la tarea, lo que, para que engañarnos, puede ser de una epicidad considerable si se da el caso de obtener los símbolos necesarios cuando te quedan el número justo de dados para completar la dichosa tarea. No obstante, para facilitar un poco las cosas, el juego te propone una serie de mecánicas que, básicamente, pueden resumirse en “guardar un dado”: cuando una tirada ha fallado, se te permite guardar un resultado de un dado (bien en un hechizo, bien en tu propio personaje o bien en personajes que te presten su ayuda) antes de seguir con el procedimiento normal, esto es, desechar uno de los dados que te queden para repetir la tirada.

Y aquí vienen mis problemas, pues yo me dije en su momento: “¿Qué sentido tiene guardar un resultado y quitarse otro?¡Así sólo pierdes ocasiones de conseguir la tirada! El sistema tiene que estar roto”.

Para ver un poco más detenidamente el problema, vamos a dar un ejemplo numérico real: Tomemos como ejemplo una de las cartas del juego, “No te duermas”, que tiene entre sus tareas una cuyo requisito de resolución está en obtener dos resultados de “Terror” (representados por unos tentáculos, y a los que voy a llamar así a partir de ahora) en la misma tirada. Supongamos que la carta sólo tuviera esta tarea y que estamos en el primer intento, sin usar objetos ni cualquier otro añadido de los que el juego facilita, por lo que tendremos 6 dados de 6 caras para obtener 2 tentáculos ( que solo aparecen en una de las caras).

La pregunta del millón en este caso es ¿Qué es más probable: sacar 2 tentáculos en 6 dados o sacar un tentáculo en 6 dados y otro en 4? La segunda parte de la pregunta viene a justificar el uso de la mecánica de almacenamiento de dados: suponiendo que en la primera tirada sólo hemos obtenido un resultado de tentáculos, almacenarlo y retirar uno de los dados para, en la siguiente tirada, que será con 4 dados, tratar de obtener al menos otro resultado de tentáculos para completar la tarea.

Si preguntara a mi yo de hace una semana (momento en el que me plantee esta pregunta) me diría que con los 6 dados tendrías más probabilidades de obtener el resultado que almacenando un dado. Pero, ¿Esa intuición es correcta?.

Abrochaos el cinturón, que vienen curvas.

Antes de nada, es necesario explicar las herramientas que vamos a utilizar, en este caso, usaremos la regla de Laplace, que se resume en que la probabilidad de un suceso se define como el número de casos favorables entre el número de casos posibles, o lo que es lo mism:

P(A) = nº Casos Favorables / nº de Casos Posibles.

Por otro lado, os voy a pedir a los no iniciados que hagáis un acto de fé cuando os digo que, para este tipo de casos, la mejor herramienta de la que disponemos es la Fórmula de la Distribución Binomial, que se escribe como:

X ~ B(n,p)

Y para la que existen multitud de calculadoras online; ésta fórmula permite “contar el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito” (Definición de la Wikipedia), o aplicado a nuestro caso, nos permite conocer el número de éxitos con un resultado de “tentáculos” en una tirada de n dados, sabiendo que la probabilidad p de que en un dado salga “tentáculos” es de 1 (una sola cara) / 6 (todas las caras del dado). Por último, como consecuencia de la regla de laplace, la probabilidad de que un evento no ocurra es de 1 menos la probabilidad de que sí ocurra, o dicho de otra manera:

P(Q) = 1 – P(A)

Sabiendo todo esto, vamos a realizar los cálculos para obtener las dos probabilidades, y vamos a compararlas para ver cual es mayor. Sencillo, ¿verdad?.

Empezamos por el primero de los casos, que es el más simple: sabiendo que la probabilidad de obtener tentáculos en uno de los dados es 1/6 y que necesitamos al menos 2 éxitos en una tirada de 6 dados, podemos calcular la probabilidad aplicando la fórmula de la distribución binomial; el problema de ésta fórmula es que sólo calcula uno de los casos, por lo que tenemos que aplicarla varias veces y sumar los resultados. En este caso, en lugar de hacer los cálculos para obtener la probabilidad de todos los casos de éxito, vamos a calcular los casos de fracaso y se lo restaremos a 1, porque son menos; de esta forma, tenemos que calcular los casos de “ninguno de los 6 dados son tentáculos” y “sólo uno de los dados es tentáculos”; si utilizamos una de las calculadoras online para ésta distribución, tenemos que:

  • “Ninguno de los dados es tentáculos (6 dados)” => 0.335 (33.5%)
  • “Sólo uno de los dados es tentáculos (6 dados)” => 0.402 (40.2%)
  • 2 o más dados son tentáculos (6 dados): 1 – (0.335 + 0.402) = 0.263 (26.3%)

 

 

Ahora, la parte complicada, calcular la probabilidad de obtener uno o más resultados de tentáculos en 6 dados y, en una tirada posterior, habiendo guardado uno de los resultados y eliminando un dado según las normas, obtener al menos un resultado de tentáculos en 4 dados.

NOTA: Para este caso, estoy considerando que ambos sucesos son lo que se denomina “sucesos independientes”, pues el que ocurra el primero no influye en el resultado del segundo. Éste hecho hace que el cálculo de la probabilidad de que ocurran ambos sucesos sea distinto a cómo se calcularía si ambos sucesos fueran dependientes.Si alguien considera que estoy incurriendo en un error, por favor, dejadlo en los comentarios y rectificaré el artículo en consecuencia.

Pasemos a realizar el primer cálculo, que sería “obtener uno o más resultados de tentáculos”, que en este caso sería igual que calcular 1 menos la probabilidad de ”no obtener ningún resultado de tentáculos” en 6 dados; ya tenemos el cálculo parcialmente realizado:

  • “Uno o más de los dados es tentáculos (6 dados)“ => 1 – 0.335 = 0.665 (66.5%)

Tras esto, calculamos la probabilidad de que uno o más resultados en 4 dados sea tentáculos:

  • “Uno o más de los dados es tentáculos (4 dados)” => 0.518 (51.8%)

Por último, calculamos la probabilidad de que ambos sucesos ocurran, que al ser sucesos independientes, será el producto de ambos números:

  • “Uno o más de los dados es tentáculos en 6 dados Y uno o más de los dados es tentáculos en 4 dados” => 0.665 * 0.518 = 0.344 (34.4%)

Es decir, es más probable obtener uno o más tentáculos en 6 dados y después uno o más tentáculos en 4 dados (34.4%) que obtener dos tentáculos en una única tirada de 6 dados (26.3%).

Como podéis ver, los números están ahí y son los que son, y la conclusión a la que he llegado a través de los cálculos es simple: mi percepción acerca de la probabilidad era errónea, puede que no por mucho (no llega a un 10%) pero es así, y ésta percepción errónea ha hecho que no saque el máximo jugo al juego y que me vuelva loco buscando soluciones a un problema que no existe.

Y ahora, si me disculpáis, voy a echarme una partida, a ver si esta vez no me come un primigenio.

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Calculadora de distribución binomial utilizada para éste artículo: http://stattrek.com/online-calculator/binomial.aspx

La información de las fórmulas y las definiciones utilizadas ha sido extraída de la Wikipedia.

Agradecimiento especial a Jennifer y a Salva por sus correcciones del texto.

8 Comentarios

  1. Pues como soy muy aficionado a la estadística he rehecho todos los cálculos. La forma más “simple” quizá de verlo es haciendo un árbol de probabilidades. Por ejemplo, para el caso de no aplicar el mecanismo de guardar un dado ( y partiendo de 6 dados, donde sólo uno tiene tentáculo y el objetivo es obtener 2 tentáculos):
    las opciones en cada tirada serían
    a) sacar 2 ó más tentáculos
    b) sacar 1 ó 0 tentáculos.
    la Probabilidad de a) con 6 dados (tal y como han explicado en comentarios anteriores) es 26.32% y por tanto, la probabilidad de no obtenerlo es 73.68%
    para 5 dados se tiene: 19.62% de éxito y 80.38% de fallo.
    para 4: 13.19% y 86.81%
    para 3: 7.41% y 92.59%
    para 2: 2.78% y 97.22%

    La probabilidad total de éxito será la probabilidad de conseguirlo lanzando 6 dados + probabilidad de obtenerlo lanzando 5 dados, etc (siempre sumando). Con la particularidad de que la probabilidad de obtenerlo lanzando 5 dados es el producto de la probabilidad de éxito lanzando 5 dados (19.62%) multiplicado por la probabilidad de fallo lanzando 6 dados (73.68%). Así sucesivamente se obtienen las probabilidades de éxitlo lanzando 4, 3 y 2 dados.

    La suma total es: 53.72%

    Para el caso de aprovechar el mecanismo de guardar un dado, las posibilidades son mayores:
    a) sacar 2 o más tentáculos (éxito)
    b) sacar 1 tentáculo (semiéxito)
    c) sacar 0 tentáculos (fallo)

    Consecuentemente, el árbol de probabilidades es algo más complejo. No obstante repitiendo lo explicado para el caso anterior, se puede obtener que la probabilidad total (sumando ya las diversas formas de obtener éxito) es de: 80.47%

    Como puede apreciarse la diferencia es considerable, (1 de 2 en el primer caso, mientras que 4 de 5 en éste último).

    Espero que haya sido útil, aunque reconozco que la explicación es un poco confusa. Si queréis que lo desarrolle, sólo tenéis que pedirlo.
    Saludos!

  2. Siguiendo el razonamiento del post me parece que el cálculo adecuado sería:

    Utilizando la mecánica del juego:

    “Probabilidad 1 tentáculo con 6 dados” x “probabilidad 1 o más tentáculos con 4 dados” + “probabilidad 2 o más tentáculos con 6 dados”
    (0.41878) x (1 – 0.48225) + (1 – 0.33490 – 0.40188)

    En total: 48.004%

    NO utilizando la mecánica del juego:

    “Probabilidad 2 o más tentáculos con 6 dados” + “Probabilidad 2 o más tentáculos con 5 dados”
    (1 – 0.33490 – 0.40188) + (1 – 0.40188 – 0.40188)

    En total: 45.946%

    Como podéis apreciar la diferencia es mínima.
    Creo que el principal problema de los cálculos es simplificar la mecánica del juego a dos tiradas.

    Si utilizas la mecánica del juego (guardar 1 dado) primero tiras con 6 dados (suponemos que obtienes un tentáculo), luego tiras con 4, con 3, con 2 y finalmente con 1.
    En total son 5 tiradas.

    Si no utilizas la mecánica del juego, es decir, siempre retiras un dado, pero nunca te quedas con un resultado: Tiras 6, luego 5, 4, 3, 2 y 1.
    En total 6 tiradas.

    Espero que a nadie le explote el cerebro con la discusión.

    • Yo veo un problema con los cálculos que estáis haciendo, porque tirar 6 dados, o tener un éxito y tirar 4, no son situaciones normales que tengas que comparar en el juego.

      En el juego tu tiras 6 dados y punto. (estamos suponiendo que no hay objetos ni artefactos ni nada de eso :D ).

      Una vez tiramos tenemos 3 situaciones.
      Ningún éxito : 33.48%
      Tengo un éxito: 40.18%
      Tengo 2 o mas éxitos: 26.32%

      Una vez en este punto, la mecánica del juego me deja elegir dos cosas, repetir tirando un dado menos (5 dados), o guardar uno y repetir tirando 1 menos ( 4 dados).

      Si elegimos tirar 5, tenemos:
      Sacar 0 o 1 éxito: 80.36%
      Sacar 2 o mas: 19.64%

      Si elegimos tirar 4:
      Sacar 0 éxitos: 48.22%
      Sacar 1 o mas: 51.78%

      En esa situación, creo que esta claro que es mejor guardar 1 y tirar 4, pero en el post original hacia una comparación con 4 dados y un éxito y 6 dados y dos éxitos, situación que en la mecánica normal del juego no se da, salvo que uses pistas o quizás un objeto.

      —–
      Por otro lado como tu dices, después de esa segunda tirada aun tenemos unas cuantas mas :D, el calculo asumiendo que guardas un dado es fácil, porque realmente ese otro éxito que necesitas puede salir en cual quiera de los 10 dados que tirar 4+3+2+1 así que seria 1-5/6^10 que es un 83.85%

      El calculo de la otra parte es mas complicado, para empezar si al tirar 5 sacas 1 solo éxito, lo guardas y tirar 3 o tiras 4…pero asumiendo que nunca guardas, seria.

      Con 5 dados: 19.64% de dos o mas éxitos, 80.36% de 0-1 éxito

      De ese 80.36%
      Lanzo los cuatro dados y la probabilidad de tener 2 o mas éxitos seria 1/6*1/6*5/6*5/6*6 = 11.57% (Es decir, 9.3% (80.36%*11.57%))

      Del 71.05% de los casos donde no he conseguido 2 éxitos ni con 5 ni con 4 dados, y tiro 3.
      La probabilidad de éxito seria 5/6*1/6*1/6*3 6.94% como antes 71.05%*6.94%= 4.93%

      Por ultimo del 66.12% de ocasiones en las que no he sacado 2 éxitos ni con 5 ni con 4 ni con 3 dados, hago una ultima tirada de 2
      La probabilidad de éxito 1/36 un 2.77% (1.83% del total)

      Sumamos todas esas posibilidad. 19.64%+9.3%+4.93%+1.83%=35.7%

      Luego si en la primera tirada hemos tenido un éxito el guardarlo y seguir con la mecánica normal de juego tirando un dado menos de cada vez nos da una probabilidad de éxito del 83.85%, no guardar dados nos da una probabilidad del 35.7%

      O eso me dan mis cuentas, por desgracia para ser una ciencia exacta las matemáticas no siempre dan el mismo resultado a todo el mundo :Grin: :Grin:

  3. Supongo que lo que esperabas calcular era la siguiente situación, tiro 6 dados, saco un existo (no es importante como de probable es eso) y ahora, el sistema me permite, repetir todos mis dados, o bien quedarme mi único éxito y repetir 4 dados ya que he perdido uno por fallar la tirada.

    Si esa es la idea los cálculos serian, probabilidad de que al tirar 6 saca 0 o 1 éxito.
    Éxitos 0 = 5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6 = 15625/46656
    Existo 1=1/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*6= 18750/46656
    Sumamos esas dos fracciones = 34375/46656 = 0.7367
    1-0.7367=0.2633 = 26.33%

    Si elegimos la otra opción, solo necesitamos 1 o mas éxitos en los 4 dados.

    Éxitos 0= 5/6*5/6*5/6*5/6 = 625/1296 = 0.4822
    1 – 0.4822 = 0.5178 un 51.78%

    A mi me da mas de un 10%, me da casi el doble.

    Independientemente de todo ese calculo, si hablamos de “percepción de la probabilidad” yo lo resumiría en esto.

    Cuando escojo tirar los 6 dados, estoy escogiendo que con esos dos dados extras creo que mi “esperanza” es mayor que sacar 1. Porque si escogiese quedarme con solo 4 dados ya tendría ese 1.

    Pero si yo tiro 2 dados, mis probabilidades de sacar 1 o mas éxitos son muy malas.
    La de sacar 2, 1/36* Ok, tengo casi un 3% de que me haya salido bien.
    La de sacar 1 existo 10/36 un 27% de quedarme como estaba.
    La de sacar 0 éxitos y por tanto haber perdido 1 al tomar la decisión de tirar 6 dados. 25/36 69,44%

    Esos son los cálculos que yo haría en esta situación, como ves enfoco el problema de otra manera, no se si mejor o peor, o si correcta o no. Pero creo que este ultimo calculo sobre la esperanza de sacar 1+ éxitos en los dos dados es mas sencillo mientras juegas una partida.

    • En este caso, si no te he entendido mal, estás comparando la probabilidad de repetir todos los dados ( mediante el uso de una ficha de pista, siguiendo las mecánicas del juego) frente a la decisión de elegir uno de los dados con resultado de tentáculos ( y solo uno, pues cualquier otro resultado con más tentáculos nos resolvería directamente la tarea y, con menos tentáculos, 0 en este caso, no nos valdría de nada y no es relevante para los cálculos a mi modo de ver); Si esto es así, estamos teniendo en cuenta dos casos distintos, pues yo no esoty considerando el poder repetir la tirada ( un caso bastante común, pues las fichas de pista no parecen abundar). ¿He entendido bien lo que quieres explicar?

      En cualquier caso, mis cálculos sobre la probabilidad de obtener 0 o 1 éxitos en 6 dados difiere de mis datos, y creo que has metido un multiplicador de más en la segunda fórmula, donde pones “Exito 1=1/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*6= 18750/46656”, ¿no debería ser 1/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6? (es decir, sobra un *6 al final) en caso de ser así, el resultado que yo obtengo es 3125/46656. en este caso, la suma de las dos probabilidades es: (15625+3125)/46656 = 0.4018; 1 – 0.4018 = 0.5982 => 59.82%.

      En cualquier caso, ¿serías tan amable de indicarme si te he entendido bien? tu razonamiento me parece interesante, aunque sea de un problema distinto a que planteo, o eso creo por lo que te he entendido.

      Un saludo y gracias por el comentario!

      • Esta intentando buscar una situación en la que tengamos que elegir entre tirar 6 dados o tener un éxito y tirar 4. Cuando yo comienzo una tarea en el símbolo arcano, normalmente no tengo esa opción, nadie me va a dejar elegir tener una calavera segura y tirar 4 dados, siempre tendré que tirar 6. Luego no es relevante cual es mejor, porque solo tengo la opción de tirar 6, en términos de juego salvo que en una ocasión tenga que elegir y necesite saber con que opción es mas probable. Un ejemplo seria la que yo describo, pero es solo por poner en contexto el calculo. Porque se sigue calculando lo mismo, la probabilidad de 2 o mas éxito con 6 dados, o la de 1 con 4.
        —–
        Sobre lo que no te parece correcto en mis cálculos:

        el *6 es una cuestión de combinatoria, de cuantas combinaciones validas tenemos.

        Imagina que solo fueran 2 dados, para simplificar. La posibilidad de sacar una calavera en 1 de ellos seria. 1/6*5/6 + 5/6*1/6 si fueran 3, seria 1/6*5/6*5/6 + 5/6*1/6*5/6 + 5/6*5/6*1/6 … simplificando, (5/6)^(n-1) * (1/6) * n (donde n serian el numero de dados). O poniéndonos mas “estadísticos” (p)^(n-1) * (1-p) * n (siendo p la probabilidad de fracaso y n el numero de dados).

        Es mas, podemos usar esa formula general para hacer este calculo.
        Si tiro 4 dados, mi probabilidad de fallar todos es p^4, la probabilidad de conseguirlo con 6 1 éxito o menos es p^6 + p^5*(1-p)*6.
        Luego podrímos calcular para que p esas dos cosas son iguales.
        p^4 = p^6 + p^5*(1-p)*6
        p^4 = p^4 * ( p^2 + 6*(p*(1-p)))
        1 = p^2 + 6*(p – p^2)
        1 = -5p^2 + 6p
        5p^2 – 6p +1 = 0

        p= 1 o p=1/5

        Así que, si nuestra probabilidad de fracaso es menor a 1/5 en cada tirada (tirar dados de 10 y fallar con 1 y 2 por ejemplo), si seria rentable tirar 6 dados.

  4. Genial entrada como siempre.
    Pero yo diría que si hay un problema en los cálculos. Precisamente donde tu mismo reconoces que podría haberlo.
    El segundo caso (6 + 4) creo que esta mal planteado, pues calculas la probabilidad de que en el primer lanzamiento (con 6 dados) te salga 1 o mas “tentáculos” para guardar 1 y hacer luego la segunda tirada. Pero si en la primera tirada te salen 2 o mas “tentáculos” completarías directamente la tarea sin necesidad de volver a tirar.
    Por ello creo que el calculo correcto sería calcular la probabilidad de que salga en la primera tirada “1 tentáculo (y solo 1)” en lugar de “1 o mas tentáculos”.

    Seguramente eso invierta tu razonamiento (aunque lo digo sin haber echado cuenta alguna). Y añado (por aquello de no venir solo a joder), en mi opinión la comparativa correcta sería : ¿que es mas probable “2 o mas tentáculos en 5 dados” o “1 o mas tentáculos en 4 dados”?

    Espero no fastidiarte mucho.
    Dicho eso, adoro este juego.

    Saludetes.

    • Lo primero, muchas gracias por comentar, y sí, tienes toda la razón del mundo en mi problema con los cálculos, pues si sacas 1 o más tentáculos en la primera tirada, en efecto, estarías resolviendo. También tengo que agradecerte que sugieras que la comparativa correcta sea, parafraseándote: ¿que es mas probable “2 o mas tentáculos en 5 dados” o “1 o mas tentáculos en 4 dados”?.

      Si me permites, y a modo de disculpa, voy a rehacer los cálculos partiendo de esa premisa (pongo sólo los resultados obtenidos en la calculadora que se da en el pié del artículo, consultando el valor de X >= 2 y X >= 1, que se refiere a la acumulación de 2 o más éxitos y 1 o más éxitos, respectivamente):

      – 2 o mas tentáculos en 5 dados: 0.197 (19.7%)
      – 1 o mas tentáculos en 4 dados: 0.518 (51.8%)

      Éstos cálculos, como tu bien has indicado, partirían de la premisa de que en la priemera tirada que hemos realizado no hemos obtenido más que un único resultado de tentáculos, y la diferencia en el cálculo reside entre almacenarlo o no.

      De nuevo, muchas gracias por la corrección y a todos los demás, mis disculpas por haberlo cometido (aunque al final el resultado apoya más mi tesis. Supongo que es una buena noticia jeje).

      En cuanto pueda, trataré de poner un comentario en el que indique que los cálculos están mal.

      ¡Un saludo y gracias!

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